Electronic Resource
Sharp inequalities of various metrics on the classes of functions with given comparison function
| العنوان: | Sharp inequalities of various metrics on the classes of functions with given comparison function |
|---|---|
| Additional Titles: | Точні нерівності різних метрик на класах функцій із заданою функцією порівняння |
| المؤلفون: | Alexandrova, T.V., Kofanov, V.A. |
| المصدر: | Researches in Mathematics; Vol 29, No 1 (2021); 11-23; Researches in Mathematics; Vol 29, No 1 (2021); 11-23; Researches in Mathematics; Vol 29, No 1 (2021); 11-23; 2664-5009; 2664-4991; 10.15421/24212901 |
| بيانات النشر: | Oles Honchar Dnipro National University 2021-07-05 |
| نوع الوثيقة: | Electronic Resource |
| مستخلص: | For any $$$q > p > 0$$$, $$$\omega > 0,$$$ $$$d \ge 2 \omega,$$$ we obtain the following sharp inequality of various metrics$$\|x\|_{L_q(I_{d})} \le \frac{\|\varphi +c\|_{L_q(I_{2\omega})}}{\|\varphi + c \|_{L_p(I_{2\omega})}}\|x\|_{L_p(I_{d})}$$on the set $$$S_{\varphi}(\omega)$$$ of $$$d$$$-periodic functions $$$x$$$ having zeros with given the sine-shaped $$$2\omega$$$-periodic comparison function $$$\varphi$$$, where $$$c\in [-\|\varphi\|_\infty, \|\varphi\|_\infty]$$$ is such that$$\|x_{\pm}\|_{L_p(I_{d})} = \|(\varphi +c)_{\pm}\|_{L_p(I_{2\omega})}\,.$$In particular, we obtain such type inequalities on the Sobolev sets of periodic functions and on the spaces of trigonometric polynomials and polynomial splines with given quotient of the norms $$$\|x_{+}\|_{L_p(I_{d})} / \|x_-\|_{L_p(I_{d})}$$$. Для довiльних $$$q > p > 0$$$, $$$\omega > 0,$$$ $$$d \ge 2 \omega,$$$ отримана точна нерівність різних метрик$$\|x\|_{L_q(I_{d})} \le \frac{\|\varphi +c\|_{L_q(I_{2\omega})}}{\|\varphi + c \|_{L_p(I_{2\omega})}}\|x\|_{L_p(I_{d})}\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{(1)}$$на класах $$$S_{\varphi}(\omega)$$$ $$$d$$$-періодичних функцій $$$x$$$, що мають нулі, із заданою синусоподібною $$$2\omega$$$-періодичною функцією порівняння $$$\varphi$$$, де $$$c\in [-\|\varphi\|_\infty, \|\varphi\|_\infty]$$$ задовольняє умову$$\|x_{\pm}\|_{L_p(I_{d})} = \|(\varphi +c)_{\pm}\|_{L_p(I_{2\omega})}\,.$$Як наслідок доведена точна нерівність$$\|x\|_{L_{q}(I_{2 \pi})} \le \frac{\|\varphi_r + c\|_{L_{q}(I_{2 \pi})}}{\|\varphi_r + c\|^{\alpha}_{L_{p}(I_{2 \pi})}} \|x\|^{\alpha}_{L_{p}(I_{2 \pi})} \cdot\|x^{(r)}\|^{1-\alpha}_\infty , \;\;\;\;\; \alpha = (r+1/q)(r+1/p)^{-1}$$на соболєвських класах диференційовних $$$2\pi$$$-періодичних функцій із заданим відношенням $$$L_p$$$-норм додатної і від'ємної частин функції, де $$$\varphi_r-$$$ ідеальний сплайн Ейлера порядку $$$r$$$. Крім того, з нерівності (1) виведена нерівність типу Нікольського$$\|T\|_{L_{q}(I_{2 \pi})} \le \left( \frac nm \right)^{\frac1p-\frac1q}\frac{\|\sin (\cdot) + c\|_{L_{q}(I_{2 \pi})}}{\|\sin (\cdot) + c\|_{L_{p}(I_{2 \pi})}}\cdot \|T\|_{L_{p}(I_{2 \pi})}\,,$$на просторах тригонометричних поліномів $$$T$$$ порядку $$$\le n$$$ з періодом $$$2\pi/m, m\le n$$$, і заданим відношенням $$$L_p$$$-норм додатної і від'ємної частин, і аналогічна нерівність типу Нікольського$$\|s\|_{L_{q}(I_{2 \pi})} \le \left( \frac nm\right)^{\frac1p-\frac1q}\frac{\|\varphi_{ r} +c\|_{L_{q}(I_{2 \pi})}}{\|\varphi_{ r} + c\|_{L_{p}(I_{2 \pi})}}\cdot \|s\|_{L_{p}(I_{2 \pi})}\,,$$на просторах поліноміальних сплайнів $$$s$$$ порядку $$$r$$$ мінімального дефекту з вузлами в точках $$$k\pi/n$$$, $$$k\in {\rm \bf Z}$$$, та періодом $$$2\pi/m, m\le n$$$, і заданим відношенням $$$L_p$$$-норм додатної і від'ємної частин. |
| مصطلحات الفهرس: | inequality of various metrics; a class of functions with given comparison function; Sobolev class of functions; polynomial; spline, нерівність різних метрик; клас функцій із заданою функцією порівняння; соболєвський клас; поліном; сплайн, info:eu-repo/semantics/article, info:eu-repo/semantics/publishedVersion |
| URL: | |
| الاتاحة: | Open access content. Open access content Copyright (c) 2021 T.V. Alexandrova, V.A. Kofanov http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| ملاحظة: | application/pdf English |
| Other Numbers: | UADNU oai:ojs.vestnmath.dnu.dp.ua:article/247 https://vestnmath.dnu.dp.ua/index.php/rim/article/view/247 10.15421/242102 1263024141 |
| المصدر المساهم: | DNIPROPETROVSK NAT UNIV OLES GONCHAR From OAIster®, provided by the OCLC Cooperative. |
| رقم الانضمام: | edsoai.on1263024141 |
| قاعدة البيانات: | OAIster |
| الوصف غير متاح. |