| الوصف: |
We investigated one dimensional models of finite size, considering explicitly open boundary conditions and we present our results. One main aspect of the thesis focusses also on the finite size effects of 1d topological superconductors: We compare our exact analyitcal findings to topological predictions relying on pure bulk considerations. As perspectiv, in the first part of the work, we introduce a technical approach using so called Tetranacci polynomials to derive later exact closed form expressions for eigenstates/eigenvalues and arbitrary parameters of the archetypal model of 1d topological superconductors: the Kitaev chain. We discuss further the special cases of degenerate energies, referred to as "crossings" and also the physical nature of gap-openings within the supra-gap regime, named "avoided crossings". Based on the success to understand the full Bogoliubov de-Gennes spectrum of the finite sized Kitaev chain in case of open boundary conditions, we attached two normal conducting leads granting a N-S-N junction. In terms of the Non-equilibrium Green's function formalism, we derive a current formula analytically. In terms of Tetranacci polynomials, we find explicit formulas for the requiered retarded Green's functions and study the linear and non-linear transport signatures of our junction. Closed conductance formulae including the direct charge transfer, the Andreev reflection, the crossed Andreev process and also the total conductance for arbitrary parameters are stated and discussed. Within the supra-gap regime, we study these processes independently. Close to avoided crossings, strong and stable contributions arising from the Andreev reflecting higher energy states are found originating from the intricated quantization rule of the Kitaev chain. In order to demonstrate that our understanding and/ or treatment is not limited to toymodels, but captures the physics of generic 1d topological superconductors, we rely on two steps. First, we turn to an effective low-energy description of an arbitrary topological superconductor taking only the degenerate in-gap energies into account. This minimal model is considered as sandwiched by two normal conducting leads and the steady state current formula is derived. The still generic result is then readapted to the situation of the Kitaev chain and we can reproduce the earlier findings quanititively. Second, we consider the semiconducting nanowires with intrinsic Rashba-spin orbit coupling being placed on a conventional s-wave superconductor while an external magnetic field is applied. The wire is considered as one dimensional and of finite length. In the case of open boundary conditions, we demonstrate the physical principles found earlier for the Kitaev chain also apply here. As perspective, we show that the open boundary conditions prevent the formation of Majorana zero modes for parameters along the topological phase boundary. Further, the open boundary condition enforces a smooth topological phase transition.
Die Ergebnisse zur Untersuchung eindimensionaler Modelle endlicher Gr����e werden dargestellt, wobei explizit "open boundary conditions" ber��cksichtigt wurden. Ein wesentlicher Aspekt der Arbeit befasst sich auch mit den Ver��nderungen von topologischen Vorhersagen in Bezug auf die endliche Gr����e des Systems, wobei bei letzteren die exakten analytischen Ergebnisse zugrunde gelegt werden. Im ersten Teil der Arbeit wird die Technik basierend auf sog. Tetranacci-Polynomen erarbeitet um sp��ter explizite und exakte Ergebnisse f��r Eigenzust��nde/Eigenwerte bei beliebigen Systemparametern der Kitaev chain anzugeben. Ferner, werden auch die Kriterien f��r Entartungen, sog. "crossings" und die damit verwandten "avoided crossings" behandelt. Nachdem das Bogoliubov-de-Gennes-Spektrum der endlichen Kitaev chain behandelt wurde, wechselt das Augenmerk auf Transportuntersuchungen in einem "N-S-N" Aufbau. Mit Hilfe des "Non-equlibrium Green's function" Formalismus leiten wir analytisch eine Stromformel ab und wir finden explizite, analytische Darstellungen der ben��tigten Green's Funktionen. Anschlie��end wird das lineare und nicht-lineare Transportverhalten untersucht. F��r den direkten Ladungstransfer, die Andreev-Reflexion, den sog. "crossed Andreev-prozess", bei beliebigen Parametern konnten vollst��ndig analytische (und exakte) Ergebnisse gefunden werden. Auch f��re energetisch h��here Anregungen werden die verschiedenen phyikalischen Prozesse getrennt untersucht. Insbesondere nahe der "avoided crossings" finden sich gro��e und stabile Beitr��ge der Andreev reflektion. Die gefunden Prinzipien im Falle der Kitaev chain, erstrecken sich auch auf allgemeinere topologische Supraleiter wie zweistufig dargestellt wird. Im ersten Schritt wird ein minimales Model topologischer Supraleiter betrachtet, bei dem nur die Moden innerhalb des Gaps ber��cksichtigt werden. Im zugeh��rigen N-S-N Aufbau f��r den Transportuntersuchungen wird eine allgemeine Stromformel f��r den sog. "steady-state" hergeleitet. Anschlie��end wird das allgemeine Resultat f��r die Kitaev chain adaptiert, wobei fr��here Ergebnisse quantitative pr��zise reproduziert werden k��nnen. In einem zweiten Schritt, widmen wir uns speziellen Nanodr��hten mit interner Rashba-Spin-Bahnkopplung und innerhalb eines externen magnetischen Feld. Ferner, liegt der Nanodraht auf einen s-wellen Supraleiter und wird als eindimensional und endlich lang betrachtet. Wie in der Arbeit dargelegt wird, lassen sich die physikalischen Prinzipien direkt von der Kitaev chain auf diese Nanodr��hte anwenden. Exemplarisch sei hier nur die Verhinderung eines scharfen topologischen ��bergangs zwischen den Phasen genannt, als direkte Folge der "open boundary" Behandlung. |